Question

已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍A；
（3）在（2）的條件下，設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=

1

x

的兩個(gè)根為x₁、x₂，若對(duì)任意a∈A，t∈[-1，1]，不等式m2+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1時(shí)，f′=

-2(x2-x-2)

(x2+2)2

 ，由此能求出過（2，f（2））切線方程．
（2）由f′(x)=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，知x²-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍A．
（3）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，由△=a²+8＞0，知|x1-x2|=

a2+8

≤3，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R），
∴a=1時(shí)，f（x）=

2x-1

x2+2

，
∴f′=

-2(x2-x-2)

(x2+2)2

 ，
∴f′（2）=0，f（2）=

4-1

4+2

=

1

2

，
∴過（2，f（2））切線方程為y=

1

2

．
（2）∵f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R），
∴f′(x)=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立．
設(shè)g（x）=x²-ax-2，則問題等價(jià)于

g(1)=1-a-2≤0 g(-1)=1+a-2≤0

，解得-1≤≤1．
∴A=[-1，1]．
（3）由

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而|x1-x2|=

a2+8

≤3，
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立．
∴m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立，
∴m²+tm-2≥0對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立，
設(shè)g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），則問題等價(jià)于：

g(-1)=m2-m-2＞0 g(1)=m2+m-2≥0

，
解得m≤-2，或m≥2．
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查集合的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．