Question

不等式組

y≤x y≥0 x≤4

表示的平面區(qū)域?yàn)锳．
（Ⅰ）畫出平面區(qū)域A，并求面積；
（Ⅱ）點(diǎn)（x，y）在平面區(qū)域內(nèi)，求z=2x+y的取值范圍；
（Ⅲ）一次函數(shù)y=

1

2

x+b的圖象平分區(qū)域A的面積，求b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)一元二次不等式組表示的平面區(qū)域的結(jié)論，可得平面區(qū)域M，最后可用三角形面積公式求出區(qū)域M的面積；
（Ⅱ）再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過點(diǎn)（4，4），點(diǎn)（0，0）時(shí)，z取得最值即可；
（Ⅲ）由于一次函數(shù)y=

1

2

x+b的圖象平分區(qū)域A的面積，可對(duì)得到的b分類討論即可．

解答：解：（Ⅰ）不等式y(tǒng)≤x表示直線y=x及直線下方的平面區(qū)域；
不等式y(tǒng)≥0表示直線y=0及直線上方的平面區(qū)域；
不等式x≤4表示直線x=4及直線左側(cè)的平面區(qū)域．
∴這三個(gè)平面區(qū)域的公共部分，就是原不等式組所表示的平面區(qū)域．
由圖象可得：S=

1

2

×4×4=8；
（Ⅱ）將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x+z，
當(dāng)它經(jīng)過（4，4）時(shí)截距z最大為12；
當(dāng)它經(jīng)過（0，0）時(shí)截距z最小為0．
∴z的取值范圍是[0，12]；
（Ⅲ）y=

1

2

x+b的圖象經(jīng)過區(qū)域A時(shí)，b∈[-2，2]，
當(dāng)b∈[-2，0）時(shí)，S=

1

2

(b+2)(4+2b)=4，
∴b+2=2，b=0（舍）
當(dāng)b∈[0，2]時(shí)，S=

1

2

(4-2b)(4-2-b)=4，
∴-b+2=2，b=0（舍）
∴b=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單線性規(guī)劃，其中畫出滿足條件的可行域是解答的關(guān)鍵．