Question

已知：雙曲線x²-2y²=2的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）若M是曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|MF₂|的最小值．并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，可得P點(diǎn)的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，從而可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）求出|MF₂|，利用配方法，可求|MF₂|的最小值．

解答：解：（1）由題意，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，且|PF1|+|PF2|=4＞2

3

，
∴P點(diǎn)的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)M(x，y)，|MF2|=

(x- 3 )2+y2

．
∵

x2

4

+y2=1，∴y2=1-

x2

4

，
∴|MF2|=

3 4 x2-2 3  x+4

=

( 3 2 x-2)2

=|

3

2

x-2|，
∵M(jìn)∈E，∴x∈[-2，2]，
∴|MF2|=2-

3

2

xx∈[-2，2]．    
顯然|MF₂|在[-2，2]上為減函數(shù)，
∴|MF₂|有最小值2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查橢圓的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出橢圓的方程是關(guān)鍵．