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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          12
          mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1)

          (1)若曲線C:y=f(x)在點P(0,1)處的切線L與C有且只有一個公共點,求m的值;
          (2)求證:函數(shù)f(x)存在單調(diào)減區(qū)間[a,b],令t=b-a,求t的取值范圍.
          分析:(1)先求切線方程為y=-x+1,再由切線L與C有且只有一個公共點,轉(zhuǎn)化為
          1
          2
          mx2-x+ln(x+1)=0
          有且只有一個實數(shù)解,從而的解;
          (2)利用函數(shù)單調(diào)減,得mx2+(m-2)x-1<0(x>-1),通過研究不等式的解集,從而可證,t的取值范圍利用基本不等式可解.
          解答:解:(1)易知f(x)定義域(-1,+∞)f/(x)=mx-2+
          1
          x+1
          ,f/(0)=-1
          ,∴k2=-1∴切線L:y=-x+1
          ∵切線L與C有且只有一個公共點,∴
          1
          2
          mx2-x+ln(x+1)=0
          有且只有一個實數(shù)解,顯然x=0時成立.
          g(x)=
          1
          2
          mx2-x+ln(x+1)
          ,則g/(x)=mx-1+
          1
          x+1
          =
          mx[x-(
          1
          m
          -1)]
          x+1

          ①當(dāng)m=1時,g′(x)≥0,函數(shù)在(-1,+∞)上單調(diào)增,x=0是方程唯一實數(shù)解;
          ②當(dāng)m>1時由g′(x)=0得x1=0,x2=
          1
          m
          -1∈(-1,0
          ),從而有x=x2是極大值點且g(x2)>g(0)=0,又當(dāng)x→-1時,g(x)→-∝因此g(x)=0在(-1,x2)內(nèi)也有一解,矛盾
          綜上知,m=1.
          (2)∵f/(x)=
          mx2+(m-2)x-1
          x+1
          (x>-1)
          ∴f′(x)<0?mx2+(m-2)x-1<0(x>-1)
          令h(x)=mx2+(m-2)x-1<0(x>-1),∴h(x)=0在(-1,+∞)有兩個不等實數(shù)解a,b,即h(x)=mx2+(m-2)x-1<0(x>-1)得解集為(a,b),故存在單調(diào)減區(qū)間[a,b],
          t=b-a=
          1+
          4
          m2

          ∵m≥1,∴1<
          1+
          4
          m2
          5
          ,
          t∈(1,
          5
          ]
          點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生分析解決問題的能力,有一定的難度.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時滿足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案