Question

某園林公司計劃在一塊以O(shè)為圓心，R（R為常數(shù)，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形CMDC區(qū)域用于觀賞樣板地，△OCD區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售．已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元．
（1）設(shè)∠COD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地，才能使總利潤最大？并求相對應(yīng)的θ．
（參考公式：扇形面積公式，l表示扇形的弧長）

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)∠COD=θ（單位：弧度），利用扇形面積減去三角形的面積，即可求出弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）設(shè)總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂，觀賞樣板地成本為y₃，求出y的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．
解答：解：（1），，．
（2）設(shè)總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂，觀賞樣板地成本為y₃，，，
∴．=
設(shè)g（θ）=5θ-10sinθθ∈（0，π）．g′（θ）=5-10cosθ上為減函數(shù)；上為增函數(shù)．
當(dāng)時，g（θ）取到最小值，此時總利潤最大．
答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計成時，總利潤最大．
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的應(yīng)用題中的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．