Question

（本題滿分14分）某園林公司計(jì)劃在一塊為圓心,(為常數(shù)，單位為米)為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤(rùn)是每平方米8元，草皮的利潤(rùn)是每平方米3元.

（1）設(shè), 用表示弓形的面積;（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤(rùn)最大? 并求相對(duì)應(yīng)的

(參考公式:扇形面積公式，表示扇形的弧長(zhǎng))

 

Answer 1

【答案】

（1） ;

(2)所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時(shí)，總利潤(rùn)最大.   

【解析】本試題主要是考查了在實(shí)際生活中的運(yùn)用，能借助于三角函數(shù)的有界性得到函數(shù)的最值，即利潤(rùn)的最大值。

（1）因?yàn)檫\(yùn)用扇形面積公式和三角形面積公式作差法得到弓形的面積的求解。

（2）利用收入減去成本的，到關(guān)系與利潤(rùn)的函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想判定單調(diào)性，進(jìn)而確定極值，那么極值唯一，那么就是最值。

（1），, .………3分

(2)設(shè)總利潤(rùn)為元，草皮利潤(rùn)為元，花木地利潤(rùn)為，觀賞樣板地成本為

，，,

 .

                                            ……8分

設(shè)  .

 ，上為減函數(shù)；

上為增函數(shù).                    ……12分

當(dāng)時(shí)，取到最小值,此時(shí)總利潤(rùn)最大.

答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時(shí)，總利潤(rùn)最大.          ………14分