Question

設A、B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的兩個動點，并且|

AB

|=

20

，動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，記動點P的軌跡為C，求軌跡C的方程．

Answer 1

分析：設出動點P和A，B兩點的坐標，根據(jù)A，B兩點在直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上，且|

AB

|=

20

，列出關于A，B的橫坐標的關系式，再由

OP

=

OA

+

OB

，把P點的坐標都用A，B的橫坐標表示，整體代換后即可得到P點的軌跡C的方程．

解答：解：設P（x，y），因為A，B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的點，
故可設A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2-

2 5

5

x2)，
又|

AB

|=

20

，所以(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20①，
因為

OP

=

OA

+

OB

，所以有

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，即

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

．
代入①得：

5

4

y2+

4

5

x2=20，即曲線C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．

點評：本題考查了曲線與方程，考查了整體運算思想，訓練了代入法，解答該題的關鍵是由已知列出A，B兩點橫坐標的關系，然后轉化為P點的橫縱坐標的關系，是中檔題．