Question

（2010•濟南二模）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且2sin2

A+B

2

+cos2C=1，a=1，b=2.
（1）求C和c．
（2）P為△ABC內(nèi)任一點（含邊界），點P到三邊距離之和為d，設(shè)P到AB，BC距離分別為x，y，用x，y表示d并求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對題設(shè)等式化簡整理得關(guān)于cosC的一元二次方程求得cosC的值，進而求得C，進而通過余弦定理求得c．
（2）根據(jù)三邊的長可知此三角形為直角三角形，進而以兩直角邊為坐標軸建立直角坐標系，則可推斷出AC的直線方程，設(shè)出P的坐標，則可用x和y和點P到直線AC的距離表示出P到三邊的距離，進而根據(jù)題意可判斷出x和y滿足的不等式關(guān)系，進而求得d的范圍．

解答：解：（1）∵sin2

A+B

2

+cos2C=1
∴cos2C=1-2sin2

A+B

2

=cos(A+B)=-cosC
∴2cos²C+cosC-1=0
∴cosC=

1

2

或-1
∵C∈(0，π)-，∴C=

π

3

由余弦定理c=

a2+b2-2abcosC

=

3

（2）由（1）知△ABC是直角三角形，如圖建立直角坐標系，
直線AC的方程為

3

x+y-

3

=0，
設(shè)P（x，y），
則d=x+y+

| 3 x+y- 3 |

2

=

1

2

[(2-

3

)x+y+

3

]
又x，y滿足

x≥0 y≥0 3 x+y- 3 ≤0

⇒

3

2

≤d≤

3

點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用．涉及了三角函數(shù)中的二倍角公式，余弦定理和點到直線的距離公式等．考查了基礎(chǔ)知識的綜合運用．