Question

若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，且|AB|=2

2

，又M為AB的中點，若O為坐標原點，直線OM的斜率為

2

2

，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀）．聯(lián)立

ax2+by2=1 x+y=1

，化為（a+b）x²-2bx+b-1=0，
利用根與系數的關系和中點坐標公式可得OM的斜率=

y0

x0

=

2

2

，再利用弦長公式可得2

2

=|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

，聯(lián)立解得即可．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀）．
聯(lián)立

ax2+by2=1 x+y=1

，化為（a+b）x²-2bx+b-1=0，
∵直線與橢圓相交于不同的兩點，
∴△=4b²-4（a+b）（b-1）＞0，（*）
∴x1+x2=

2b

a+b

，x1x2=

b-1

a+b

．
∴x0=

x1+x2

2

=

b

a+b

，
y₀=1-x₀=1-

b

a+b

=

a

a+b

．
∴OM的斜率=

y0

x0

=

a

b

=

2

2

，即b=

2

a．
又2

2

=|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( 2b a+b )2- 4(b-1) a+b ]

，
化為（a+b）²=a+b-ab，
聯(lián)立

b= 2 a (a+b)2=a+b-ab

，
解得

a= 1 3 b= 2 3

，滿足（*）
∴該橢圓的方程為：

x2

3

+

2 y2

3

=1．

點評：不同考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數的關系、中點坐標三個、弦長公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．