Question

如圖所示，已知平行四邊形ABCD和平行四邊形ACEF所在的平面相交于直線AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60°，AF=

3

．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證線線垂直，只需要證明線面垂直，即證AC⊥平面ABF，再利用線面垂直的判定，即可證得；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面ABD的一個法向量、平面FBD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角F-BD-A的余弦值．

解答：（1）證明：∵AB=1，BC=AD=2，∠ADC=60°，
∴AC²=1+4-2×1×2×cos60°=3
∴AC=

3

，
又∵AB=1，BC=2
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴AC⊥AB
又AF⊥AC，AB∩AF=A
∴AC⊥平面ABF，
又∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF；
（2）解：建立如圖所示的坐標系，則C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，

3

，0），F(xiàn)（0，

3

，

3

），B（-1，

3

，0）
平面ABD的一個法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)平面FBD的法向量為

m

=（x，y，z）
∵

DF

=(-1，

3

，

3

)，

DB

=(-2，

3

，0)，
由

m • DB =0 m • DF =0

，可得

-2x+ 3 y=0 -x+ 3 y+ 3 z=0

令z=1，得

m

=（-

3

，-2，1）為平面FBD的一個法向量．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

4

故所求二面角F-BD-A的余弦值為

2

4

．

點評：本題重點考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．