Question

【題目】已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)于這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為

（1）寫(xiě)出拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求重心的軌跡方程；

（3）點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別是.當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最��？求出的最小值.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）根據(jù)拋物線定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)果，（2）根據(jù)重心坐標(biāo)公式得與A,B坐標(biāo)關(guān)系，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得重心坐標(biāo)參數(shù)方程，消去參數(shù)得軌跡方程，（2）根據(jù)射影定理得，再利用兩點(diǎn)間距離公式求，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最值，即得結(jié)果.

解：（1）拋物線方程為：.

（2）①當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)方程為，代入，得：

設(shè)，則，設(shè)△AOB的重心為則，消去k得為所求，

②當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)， △AOB的重心也滿足上述方程.

綜合①②得，所求的軌跡方程為

（3）設(shè)已知圓的圓心為Q（3，0），半徑，

根據(jù)圓的性質(zhì)有：

當(dāng)最小時(shí)，|MN|取最小值，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則

∴當(dāng)，時(shí)，取最小值5，

故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，±2）時(shí)，|MN|取最小值.