Question

設(shè)在等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差數(shù)列，a₂，b₂，a₃+2成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=，數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及通項公式即可得出；
（Ⅱ）利用等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0）．由題意，
得，解得d=q=3．
∴a_n=3n-2，．
（Ⅱ）∵c_n==3b_n-2=3×2×3^n-1-2=2×3ⁿ-2．
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2×（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n
=
=3ⁿ⁺¹-3-2n．
∴==3ⁿ+1．
∵恒成立，∴3ⁿ+1＜2×3ⁿ+t恒成立，即t＞（-3ⁿ+1）_max，n∈N^*．
由于函數(shù)y=-3^x+1在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴-3ⁿ+1≤-3¹+1=-2，
故t＞-2．
點(diǎn)評：熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式及函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．