Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

-2．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)f(x)=

1

x

-2在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據使函數(shù)的解析式有意義的原則，我們易求出函數(shù)的解析式，根據反比例函數(shù)的性質，我們易求出函數(shù)的值域；
（2）任取區(qū)間（0，+∞）上兩個任意的實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，我們作差f（x₁）-f（x₂），并判斷其符號，進而根據函數(shù)單調性的定義，可得到結論．

解答：解：（1）要使函數(shù)f(x)=

1

x

-2的解析式有意義
自變量應滿足x≠0
故f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
由于

1

x

≠0，則

1

x

-2≠-2
故f（x）的值域為（-∞，-2）∪（-2，+∞）
（2）任取區(qū)間（0，+∞）上兩個任意的實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1

-2）-（

1

x2

-2）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1•x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)f(x)=

1

x

-2在（0，+∞）上是減函數(shù)

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調性的判斷與證明，函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域，其中熟練掌握基本初等函數(shù)的定義域，值域，及函數(shù)單調性的證明方法是解答本題的關鍵．