Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)AA₁=2．M，N分別是C₁D₁，CC₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁N與MC所成角的余弦值；
（2）設(shè)P為線段AD上任意一點(diǎn)，求證：MC⊥PN．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．可得D、A、A₁、C、M、N各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量和的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式算出和夾角的余弦之值，即可得到異面直線A₁N與MC所成角的余弦；
（2）根據(jù)（1）所建立的坐標(biāo)系，設(shè)P（x，0，0），從而得到的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，從而算得•=0，由此可得⊥，即得MC⊥PN成立．
解答：解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA、DC、DD₁兩兩互相垂直，
∴以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系
可得D（0，0，0），A（2，0，0），A₁（2，0，2），C（0，2，0），M（0，1，2），N（0，2，1）
∴向量=（-2，2，-1），=（0，1，-2）
根據(jù)空間向量的夾角公式，得cos＜，＞==
設(shè)異面直線A₁N與MC所成角為θ
可得cosθ=|cos＜，＞|=，即異面直線A₁N與MC所成角的余弦值為；
（2）由（1）中所建立的坐標(biāo)系，得
∵P為線段AD上任意一點(diǎn)，
∴設(shè)P（x，0，0），其中x∈[0，2]
可得=（-x，2，1）
∵=（0，1，-2），
∴•=0×（-x）+1×2+（-2）×1=0
由此可得⊥，即P為線段AD上任意一點(diǎn)，都有MC⊥PN成立．
點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體棱的中點(diǎn)，求證直線與直線垂直并求異面直線所成角，著重考查了正方體的性質(zhì)、空間垂直位置關(guān)系的證明和異面直線所成角的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．