Question

【題目】求平面直角坐標(biāo)系中格點(diǎn)凸五邊形(即每個頂點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的凸五邊形)的周長的最小值。

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)此凸五邊形的5個頂點(diǎn)依次為，坐標(biāo)為，并用復(fù)數(shù)表示頂點(diǎn)為虛數(shù)單位。

記，則

1.的實部與虛部都是整數(shù)，且（從而）；

2.；

3.凸五邊形的周長為。

由凸性知，任意兩個不具有同一方向。由1知，若某個，滿足，則只能是，

中模為1的個數(shù)至多只有4個：。

1.若中1的個數(shù)恰為4，由2知，余下一個為0，與1矛盾。

2.若中1的個數(shù)恰為3，剩下的兩個都為（模為的至多只有4個，），則他們不會滿足2，于是，此時，周長不小于。

3.若中恰有2個1，剩下的3個都為，如圖所示，此時周長為。

4.其他情況，周長不小于。

綜上可知，格點(diǎn)凸五邊形周長的最小值為。