Question

在一次國(guó)際大型體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加了其中5個(gè)項(xiàng)目的比賽．已知該運(yùn)動(dòng)員在這5個(gè)項(xiàng)目中，每個(gè)項(xiàng)目能打破世界紀(jì)錄的概率都是0.8，那么在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)上：
（Ⅰ）求該運(yùn)動(dòng)員至少能打破3項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率；
（Ⅱ）若該運(yùn)動(dòng)員能打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ（即均值）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于某運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加了其中5個(gè)項(xiàng)目的比賽，且個(gè)項(xiàng)目能打破世界紀(jì)錄的概率都是0.8，我們分析“該運(yùn)動(dòng)員至少能打破3項(xiàng)世界紀(jì)錄”這個(gè)事件中的所有情況，然后代入等可能性事件概率公式，即可求出該運(yùn)動(dòng)員至少能打破3項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率；
（Ⅱ）由（1）可知，該運(yùn)動(dòng)員打破每一項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率都為0.8，故可得答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意，該運(yùn)動(dòng)員在每個(gè)項(xiàng)目上“能打破世界紀(jì)錄”為獨(dú)立事件，
并且每個(gè)事件發(fā)生的概率相同．
設(shè)其打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為隨機(jī)變量ξ，
“該運(yùn)動(dòng)員至少能打破3項(xiàng)世界紀(jì)錄”為事件A，則有（2分）
P（A）=P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）（4分）
=C₅³0.8³×0.2²+C₅⁴0.8⁴×0.2+C₅⁵0.8⁵（6分）
=0.94208．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知，ξ～B（5，0.8），故所求數(shù)學(xué)期望為
Eξ=5×0.8=4．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的要點(diǎn)有：①互斥事件的概率加法公式②等可能性事件數(shù)學(xué)期望．