Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是圓O：與x軸的兩個交點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），點(diǎn)，x軸上方的動點(diǎn)P使直線，，的斜率存在且依次成等差數(shù)列.

（1）求證：動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為定值；

（2）設(shè)直線，與圓O的另一個交點(diǎn)分別為S，T.求證：點(diǎn)Q，S，T三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）設(shè),表示出,,.根據(jù)等差中項性質(zhì),求得等量關(guān)系.由,即可求得,即可證明動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為定值;

（2）由（1）知,代入,中.分別表示出直線和直線方程,代入圓的方程,求得的坐標(biāo).由兩點(diǎn)間斜率公式可表示出,可得,即可證明點(diǎn)Q,S,T三點(diǎn)共線.

（1）證明:由題設(shè)知,,.

設(shè)（）,則,,.

因?yàn)?/span>,,成等差數(shù)列,

所以,即,

由于,所以,即證；

（2）由（1）可知,,.

直線的方程為,

代入,化簡可得,

于是點(diǎn)S的橫坐標(biāo),從而.

同理可得,.

因?yàn)?/span>,

,

即

所以直線和直線的斜率相等,

故點(diǎn)S,T,Q共線.