Question

（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)（R）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，對于任意正整數(shù)n，在區(qū)間上總存在m+4個(gè)數(shù)使得

成立，試問：正整數(shù)m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由.

Answer 1

（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域?yàn)?sub>.

當(dāng)時(shí)， ，.

令，解得.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .

又，

所以的極小值為，無極大值 ．…………………………（3分）

（Ⅱ）

 ．　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 ．

若，

①當(dāng)時(shí)，，

令，得或；

令，得.

②當(dāng)時(shí)，.

③當(dāng)時(shí)，得，

令，得或；

令，得.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.　

當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為.

當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.　        …………………………（8分）

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，

由，知時(shí)， ．， .

依題意得： 對一切正整數(shù)成立．　……………（10分）

令 ，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.

又在區(qū)間單調(diào)遞增，得，

故，又為正整數(shù)，得，

當(dāng)時(shí)，存在，，

對所有滿足條件.

所以，正整數(shù)的最大值為32．　　　　…………………………………（12分）