若a
1＞0，a
1≠1，a
n+1=
（n=1，2，…）
（1）求證：a
n+1≠a
n；
（2）令a
1=
，寫出a
2、a
3、a
4、a
5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a
n；
（3）證明：存在不等于零的常數(shù)p，使
{}是等比數(shù)列，并求出公比q的值．
分析：（1）利用反證法，若a
n+1=a
n，即
=a
n，解得 a
n=0或1，結(jié)論與題干條件矛盾，
（2）根據(jù)a
n+1=
，a
1=
，求出a
2=
，a
3=
，a
4=
，a
5=
，觀察各項分子通項為2
n-1，分母通項為2
n-1+1，于是可以寫出通項公式a
n，
（3）因為
=
，又
=
-q，據(jù)此可以求出（2+p-2q）a
n=p（1-2p），故能求出q和p的值．
解答：解：（1）采用反證法．若a
n+1=a
n，即
=a
n，解得 a
n=0或1，
從而a
n=a
n1=…a
2=a
1=0或1與題設(shè)a
1＞0，a
1≠1相矛盾，故a
n+1≠a
n成立．
（2）a
1=
，a
2=
，a
3=
，a
4=
，a
5=
，a
n=
．
（3）因為
=
，又
=
q，
所以（2+p-2q）a
n=p（1-2q），
因為上式是關(guān)于變量a
n的恒等式，故可解得q=
、p=-1．
點評：本題主要考查數(shù)列遞推式和等差關(guān)系的確定等知識點，熟練掌握反證法和歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，本題難度一般．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
若a
1＞0，a
1≠1，a
n+1=
（n=1，2，…）
（1）求證：a
n+1≠a
n；
（2）令a
1=
，寫出a
2、a
3、a
4、a
5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a
n．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
若a
1＞0，a
1≠1，a
n+1=
（n=1，2，…）
（1）求證：a
n+1≠a
n；
（2）令a
1=
，寫出a
2、a
3、a
4、a
5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a
n；
（3）證明：存在不等于零的常數(shù)p，使
{}是等比數(shù)列，并求出公比q的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2009-2010學(xué)年福建省寧德市霞浦一中高二（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（實驗班）（解析版）
題型：解答題
若a
1＞0，a
1≠1，a
n+1=
（n=1，2，…）
（1）求證：a
n+1≠a
n；
（2）令a
1=
，寫出a
2、a
3、a
4、a
5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a
n；
（3）證明：存在不等于零的常數(shù)p，使
是等比數(shù)列，并求出公比q的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2011年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：6 不等式、推理與證明 質(zhì)量檢測（2）（解析版）
題型：解答題
若a
1＞0，a
1≠1，a
n+1=
（n=1，2，…）
（1）求證：a
n+1≠a
n；
（2）令a
1=
，寫出a
2、a
3、a
4、a
5的值，觀察并歸納出這個數(shù)列的通項公式a
n．
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