Question

【題目】橢圓 經(jīng)過 為坐標原點，線段 的中點在圓 上.
（1）求 的方程；
（2）直線 不過曲線 的右焦點 ，與 交于 兩點，且 與圓 相切，切點在第一象限， 的周長是否為定值？并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，
由題意得， 的中點 在圓 上，
所以 ，得 ，
所以橢圓方程為
（2）解：依題意可設直線 ，
因為直線 與圓 相切，且切點的第一象限，
所以 ，且有 ，
設 ，將直線 與橢圓方程聯(lián)立
可得， ， ，且
，
因為 ，故 ，
另一方面
，
化簡得 ，同理 ，可得 ，
由此可得 的周長 ，
故 的周長為定值
【解析】(1)結合題意由待定數(shù)據(jù)法代入數(shù)值求出結果即可。(2)根據(jù)直線與相切切點在第一象限找出m與k的關系聯(lián)立直線與橢圓的方程消元結合韋達定理找出 x1 + x2 ，x1x2的關系代入到弦長公式中，再求出另兩邊的長度即可求出三角形周長的代數(shù)式整理化簡即可得到結果。