Question

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）證明：時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）導(dǎo)數(shù)法，令，，再由得出，從而得出結(jié)論；（Ⅱ）用分析法證明，要證，只需證，接著

構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求解.

試題解析：（Ⅰ）證明：，則，，

∵，，

∴.                               (3分)

∴在單調(diào)遞增      ∴，即，

從而在上單調(diào)遞增；.                                   (7分)

（Ⅱ）證明：要證，

只需證，即，證明如下：

設(shè)，則，(9分)

已知當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

∴在上的最小值為，即，    (12分)

又由（Ⅰ），當(dāng)且時，，

∴，即不等式恒成立. (14分)

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法求解函數(shù)的單調(diào)性，最值, 構(gòu)造法.