Question

【題目】如圖， 垂直于菱形所在平面，且， ，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).

（I）求證： ；

（II）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求點(diǎn)到面的距離.

Answer 1

【答案】（I）見解析；(II）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，先證明平面，再證明.(2)第（2）問，先研究三棱錐的體積最大得到當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取得最大值2，再把點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)D到平面MGH的距離,從而求出點(diǎn)到面的距離為.

試題解析：

（I）連接、相交于點(diǎn).

∵平面，而平面，

∴

∵四邊形為菱形，∴

∵，∴平面

∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，

∴平面，而平面，∴

(II）菱形中， ，得.

∵，

∴，

∵平面，即平面，

∴

顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)， 取得最大值2，此時(shí)

且， ，則

∵是中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于D點(diǎn)到平面的距離，

又∴，求得

∴到平面的距離為.