Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞c＞0，a²=b²+c²）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于

3

2

（a-c）．
（1）證明：橢圓上的點到點F₂的最短距離為a-c；
（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（3）設橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長s的最大值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓上任一點Q的坐標為（x₀，y₀），根據(jù)Q點到右準線的距離和橢圓的第二定義，求得x₀的范圍，進而求得橢圓上的點到點F₂的最短距離
（2）可先表示出|PT|，進而可知當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，根據(jù)

(a-c)2-(b-c) 2

≥

3

2

（a-c）求得e的范圍．
（3）設直線的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，代入直線方程求得y₁y₂，根據(jù)OA⊥OB，可知

0A

•

OB

=0，∴k=a，直線的方程為ax-y-a=0根據(jù)圓心F₂（c，0）到直線l的距離，進而求得答案．

解答：解：（1）設橢圓上任一點Q的坐標為（x₀，y₀），
Q點到右準線的距離為d=

a2

c

-x₀，
則由橢圓的第二定義知：

|QF2|

d

=

c

a

，
∴|QF₂|=a-

c

a

x0，又-a≤x₀≤a，
∴當x₀=a時，
∴|QF₂|_min=a-c．

（2）依題意設切線長|PT|=

|PF 2|2-(b-c) 2

∴當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，
∴

(a-c)2-(b-c) 2

≥

3

2

（a-c），
∴0＜

b-c

a-c

≤

1

2

，從而解得

3

5

≤e＜

2

2

，
故離心率e的取值范圍是解得

3

5

≤e＜

2

2

，

（3）依題意Q點的坐標為（1，0），
則直線的方程為y=k（x-1），
與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得（a²k²+1）^_x2-2a²k2x+a²k²-a2=0
得，
設A（x₁，y₁）（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

2a2k2

a 2k2+1

，x₁x₂=

a2k2-a2

a 2k2+1

，
代入直線方程得y₁y₂=

k2(1-a2)

a 2k2+1

，
x₁x₂=+y₁y₂=

k2-a2

a 2k2+1

，又OA⊥OB，
∴

0A

•

OB

=0，
∴k=a，
直線的方程為ax-y-a=0，
圓心F₂（c，0）到直線l的距離d=

a2+1 |ac-a| a2+1

，
∴

3

5

≤e＜

2

2

•，∴

3

4

≤c＜1，

5

2

2c+1＜3，
∴s∈（0，

2 41

41

），所以弦長s的最大值為

2 41

41

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．