Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，求最小的正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式及和角的余弦公式進(jìn)行化簡可求φ的值
（2）由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離即為周期的

1

2

T，從而可求T，然后根據(jù)周期公式T=

2π

ω

可求ω，從而可得f(x)=sin(3x+

π

4

)，函數(shù)的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)f(x+m)=sin(3x+3m+

π

4

)是偶函數(shù)，可得3×0+3m+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)從而可求m

解答：解：（1）cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0⇒0=cos

π

4

cosφ-sin

π

4

sinφ=cos(

π

4

+φ)
又|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

；
（2）由題意知，

T

2

=

π

3

∴T=

2π

3

∴ω=

2π

T

=3∴f(x)=sin(3x+

π

4

)
又f(x+m)=sin(3x+3m+

π

4

)是偶函數(shù)，
∴3×0+3m+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)
即m=

kπ

3

+

π

12

(k∈Z)所以，最小的正實(shí)數(shù)m是

π

12

．

點(diǎn)評：本題主要考查了誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式，考查了由三角函數(shù)的部分圖象的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．