Question

設(shè)平面內(nèi)兩向量

a

，

b

滿足：

a

⊥

b

，|

a

|=2，|

b

|=1，點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足：x

a

+(y2-4)

b

與-x

a

+

b

互相垂直．求證：平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使對(duì)滿足條件的任意一點(diǎn)M均有|||

MA

|-|

MB

||等于定值．

Answer 1

分析：由已知可得[x

a

+(y2-4)

b

]•(-x

a

+y

b

)=0，把已知條件代入整理可得M的軌跡是雙曲線，由雙曲線的定義可知，滿足條件的點(diǎn)即為雙曲線的兩焦點(diǎn)，而定值即為雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a

解答：證明：∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0
∵x

a

+(y2-4)與

b

-x

a

+y

b

垂直，且|

a

|=2，|

b

|=1
∴[x

a

+(y2-4)

b

]•[-x

a

+

b

] =0
∴-x2

a

2+x

a

•

b

-x(y2-4)

a

•

b

+(y2-4)

b

2=0
整理可得

y2

4

-x2=1
M（x，y）的軌跡是以（0，

5

）（0，-

5

）為焦點(diǎn)的雙曲線
由雙曲線的定義可知當(dāng)A，B分別為該雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，||MA|-|MB||=4

點(diǎn)評(píng)：本題以向量垂直為切入點(diǎn)，綜合考查雙曲線的定義的應(yīng)用，靈活熟練的推理論證及對(duì)基本知識(shí)的掌握是解決本題的關(guān)鍵．