Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程㏒₄[

3

2

f（x-1）-

3

4

]=log₂h（a-x）-log₂h（4-x）；
（Ⅲ）試比較f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)與

1

6

的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．即可求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）先把原等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a和x之間的等量關(guān)系，最后利用圖象來求x的值（注意對a的討論）．
（Ⅲ）把f（100）h（100）-

1

6

轉(zhuǎn)化為一新數(shù)列 {a_n}的前100項(xiàng)和，再比較新數(shù)列 {a_n}的每一項(xiàng)和對應(yīng)h（x）=

x

之間的大小關(guān)系，即可比較f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)與

1

6

的大�。�

解答：解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）-h（x）=

2

3

x+

1

2

-

x

（x≥0）知，
F'（x）=

4 x -3

6 x

，令F'（x）=0，得x=

9

16

．
當(dāng)x∈（0，

9

16

）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；當(dāng)x∈（

9

16

，=∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．
故x∈（0，

9

16

）時(shí)，F(xiàn)（x）是減函數(shù)；
故F（x）x∈（

9

16

，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）是增函數(shù)．
F（x）在x=

9

16

處有極小值且F（

9

16

）=

1

8

．

（Ⅱ）原方程可化為log₄（x-1）+log₂ h（4-x）=log₂h（a-x），
即

1

2

log₂（x-1）+log₂

4-x

=log₂

a-x

，?

x-1＞0 4-x＞0 a-x＞0 (x-1)(4-x)=a-x

?

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

①當(dāng)1＜a≤4時(shí)，原方程有一解x=3-

5-a

；
②當(dāng)4＜a＜5時(shí)，原方程有兩解x=3±

5-a

；
③當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解x=3；
④當(dāng)a≤1或a＞5時(shí)，原方程無解．
 （Ⅲ）設(shè)數(shù)列 {a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，且s_n=f（n）g（n）-

1

6

從而有a₁=s₁=1．
當(dāng)2＜k≤100時(shí)，a_k=s_k-s_k-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

，a_k-

k

=

1

6

[（4k-3）

k

-（4k-1）

k-1

]=

1

6

(4k-3) 2 k-(4k-1)2 (k-1)

(4k-3) k +(4k-1) k-1

=

1

6

1

(4k-3) k +(4k-1) k-1

＞0．
即對任意的2＜k≤100，都有a_k＞

k

．
又因?yàn)閍₁=s₁=1，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀＞

1

+

2

+

3

+…+

100

=h（1）+h（2）+…+h（100）
故f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)＞

1

6

點(diǎn)評：題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系以及函數(shù)極值的求法和函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用問題．在解題過程中，用到了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合性很強(qiáng)的好題．