Question

已知兩定點E(-2,0),F(2,0),動點P滿足，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M滿足，點M的軌跡為C.
（1）求曲線C的方程
（2）過點D（0，－2）作直線與曲線C交于A、B兩點，點N滿足
（O為原點），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時的直線的方程.

Answer 1

(1) (2) 直線的方程為

試題分析：解（1）動點P滿足,點P的軌跡是以E F為直徑的圓，動點P的軌跡方程為.設(shè)M(x,y)是曲線C上任一點，因為PMx軸，，點P的坐標(biāo)為（x，2y）, 點P在圓上，  ，
曲線C的方程是 .
（2）因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，
當(dāng)直線的斜率不存在時顯然不符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=kx-2，與橢圓交于兩點，由得
，由，得，即


     10分
令

，，解得,滿足,
，（當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立），
當(dāng)平行四邊形OANB面積的最大值為2.
所求直線的方程為
點評：主要是考查了運(yùn)用代數(shù)的方法來通過向量的數(shù)量積的公式，以及聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理來求解，屬于中檔題。