Question

如果存在正實數(shù)a，使得f（x-a）為奇函數(shù)，f（x+a）為偶函數(shù)，我們稱函數(shù)f（x）為“和諧函數(shù)”．則下列函數(shù)是“和諧函數(shù)”有

 

．（把所有正確的序號都填上）
①f（x）=（x-1）²+5
②f（x）=cos2（x-

π

4

）
③f（x）=sinxcosx
④f（x）=ln|x+1|．

Answer 1

分析：①由f（0）=6≠0，故無論正數(shù)a取什么值，f（x-a）都不是奇函數(shù)，因此函數(shù)f（x）不可能是“和諧函數(shù)”；
②先化簡f（x）=sin2x，因為只有將函數(shù)f（x）的圖象向左或向右平移

π

4

的整數(shù)倍時，才為奇函數(shù)或偶函數(shù)，代入進行驗證看是否符合“和諧函數(shù)”的定義即可；
③由f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，所以同②；
④只有f（x-1）=ln|x|為偶函數(shù)；而f（x+1）=ln|x+2|為非奇非偶函數(shù)，故可得出答案．

解答：解：①由f（x）=（x-1）²+5，∴f（x+1）=x²+5是偶函數(shù)，∵f（0）=6≠0，∴無論正數(shù)a取什么值，f（x-a）都不是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）不可能是“和諧函數(shù)”；
②∵f（x）=cos（2x-

π

2

）=sin2x，
∴當a=kπ±

π

4

時，f（x±a）=sin(2x±(2kπ±

π

2

))=±cos2x為偶函數(shù)；
當a=kπ±

π

2

時，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx為奇函數(shù)．
因為只有將函數(shù)f（x）的圖象向左或向右平移

π

4

的整數(shù)倍時，才為奇函數(shù)或偶函數(shù)，故不存在正數(shù)a使得函數(shù)f（x）是“和諧函數(shù)”．
③∵f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，同②；
④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x-1）=ln|x|為偶函數(shù)；而f（x+1）=ln|x+2|為非奇非偶函數(shù)，故不存在正數(shù)a使得函數(shù)f（x）是“和諧函數(shù)”．
綜上可知：①②③④都不是“和諧函數(shù)”．
故答案為0個．

點評：正確理解“和諧函數(shù)”的意義是解題的關(guān)鍵．