Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2013型增函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是

(-∞，

671

2

)

．

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的解析式，再利用新定義對x分類討論和絕對值的意義即可得出．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0．
設(shè)x＜0，則-x＞0．∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
∴f(x)=

|x-a|-2a，x＞0 0，x=0 -|x+a|+2a，x＜0

．
分類討論：
①當(dāng)x＞0時，由f（x+2013）＞f（x），可得|x+2013-a|-2a＞|x-a|-2a，化為|x-（a-2013）|＞|x-a|，由絕對值的幾何意義可得a+a-2013＜0，解得a＜

2013

2

．
②當(dāng)x＜0時，由f（2013+x）＞f（x），
分為以下兩類研究：當(dāng)x+2013＜0時，可得-|x+2013+a|+2a＞-|x+a|+2a，化為|x+2013+a|＜|x+a|，由絕對值的幾何意義可得-a-a-2013＞0，解得a＜

2013

2

．
當(dāng)x+2013＞0，|x+2013-a|-2a＞-|x+a|+2a，化為|x+2013-a|+|x+a|≥|2013-2a|＞4a，a≤0時成立；當(dāng)a＞0時，a＜

2013

6

，因此可得a＜

2013

6

=

671

2

．
③當(dāng)x=0時，由f（2013）＞f（0）可得|2013-a|-2a＞0，當(dāng)a≤0時成立，當(dāng)a＞0時，a＜671．
綜上可知：a的取值范圍是a＜

671

2

．
故答案為(-∞，

671

2

)．

點評：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、新定義、分類討論和絕對值的意義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．