Question

美國(guó)華爾街的次貸危機(jī)引起的金融風(fēng)暴席卷全球，低迷的市場(chǎng)造成產(chǎn)品銷(xiāo)售越來(lái)越難，為此某廠家舉行大型的促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量P萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元滿(mǎn)足P=3-

2

x+1

，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本10+2P萬(wàn)元（不含促銷(xiāo)費(fèi)用），每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為4+

20

P

元．
（Ⅰ）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)（利潤(rùn)=總售價(jià)-成本-促銷(xiāo)費(fèi)）；
（Ⅱ）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)=總售價(jià)-成本-促銷(xiāo)費(fèi)，即可建立函數(shù)關(guān)系；
（2）利用基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立即可．

解答：解：（1）根據(jù)利潤(rùn)=總售價(jià)-成本-促銷(xiāo)費(fèi)，可得y=P（4+

20

P

）-（10+2P）-x
∵P=3-

2

x+1

，∴y=16-

4

x+1

-x，即y=17-(

4

x+1

+x+1)，（x≥0）；
（2）∵x≥0，∴x+1≥1，
∴y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-4=13，當(dāng)且僅當(dāng)

4

x+1

=x+1，即x=1萬(wàn)元時(shí)，y取得最大值13萬(wàn)元
∴促銷(xiāo)費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．