Question

對于函數(shù)f(x)=

1

3x+1+3

+a，a∈R
（1）探索函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)？

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域為R，設(shè)x₁＜x₂ ，計算 f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），可得f（x）在R上為減函數(shù)．
（2）要使函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則有f（0）=0，求得a的值．此時，經(jīng)過檢驗有f（x）+f（-x）=0成立，可得結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為R 設(shè)x₁＜x₂ ，∵f（x₁）-f（x₂）=

1

3x1+1+3

-

1

3x2+1+3

=

3x2+1-3x1+1

(3x1+1+3)(3x2+1+3)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），f（x）在R上為減函數(shù)．
（2）要使函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則有f（0）=0，∴a=-

1

6

．
此時，f（x）=

1

3(3x+1)

-

1

6

，f（-x）=

3x

3(3x+1)

-

1

6

，∵f（x）+f（-x）=0，
∴a=-

1

6

時，f（x）為奇函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．