Question

對于函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

 (x∈R)，下列判斷中，正確結(jié)論的序號是

①②

（請寫出所有正確結(jié)論的序號）．
①f（-x）+f（x）=0；      
②當m∈（0，1）時，方程f（x）=m總有實數(shù)解；
③函數(shù)f（x）的值域為R；   
④函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，+∞）．

Answer 1

分析：①利用奇函數(shù)的定義即可判斷出；
②先求出函數(shù)的值域即可判斷出；
③由②可知不正確；
④可利用導數(shù)得出其單調(diào)性．

解答：解：①∵f（-x）+f（x）=

-x

1+|x|

+

x

1+|x|

=0，（x∈R），∴①正確；
②∵-|x|≤x≤|x|，∴-1＜-

|x|

1+|x|

≤

x

1+|x|

≤

|x|

1+|x|

＜1，
∴函數(shù)f（x）的值域是（-1，1）．
因此當m∈（0，1）時，方程f（x）=m總有實數(shù)解，
∴②正確；
③由②判斷可知③不正確；
④由①可知：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
又∵f（x）=

x 1+x ，當x≥0時 x 1-x ，當x＜0時

，
當x≥0時，f′(x)=

1

(1+x)2

＞0，∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）也單調(diào)遞增，且在x=0時連續(xù)，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
因此④不正確．
綜上可知：正確答案為①②．
故答案為①②．

點評：熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解題的關(guān)鍵．