Question

已知雙曲線過點P(-3

2

，4)，它的漸近線方程為y=±

4

3

x
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F₁和F₂是這雙曲線的左、右焦點，點P在這雙曲線上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=λ，λ≠0；又因為雙曲線過點P(-3

2

，4)，將P的坐標(biāo)代入可得λ=1；將λ=1代入可得答案；
（2）設(shè)|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，根據(jù)題意有d₁•d₂=32，又由雙曲線的幾何性質(zhì)知|d₁-d₂|=2a=6，結(jié)合平方差公式可得d₁²+d₂²的值，又|F₁F₂|=2c=10，結(jié)合勾股定理可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為y=±

4

3

x，
可設(shè)雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=λ，λ≠0；
雙曲線過點P(-3

2

，4)，將P的坐標(biāo)代入可得λ=1；
則所求的雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1
（2）設(shè)|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，則d₁•d₂=32，
又由雙曲線的幾何性質(zhì)知|d₁-d₂|=2a=6，
∴d₁²+d₂²-2d₁d₂=36即有d₁²+d₂²=36+2d₁d₂=100，
又|F₁F₂|=2c=10，
∴|F₁F₂|²=100=d₁²+d₂²=|PF₁|²+|PF₂|²
△PF₁F₂是直角三角形，
∠F₁PF₂=90°．

點評：本題考查雙曲線的應(yīng)用，涉及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義以及平方差公式等多個知識點，需要平時特別注意，加強訓(xùn)練．