Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=pn²-2n+q（p，q∈R），n∈N₊．
（Ⅰ）求的q值；
（Ⅱ）若a₁與a₅的等差中項(xiàng)為18，b_n滿足a_n=2log₂b_n，求數(shù)列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先令n=1得到a₁，然后當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-s_n-1得到a_n的通項(xiàng)公式，因?yàn)閍₁符合n≥2時(shí)，a_n的形式，把n=1代入求出q即可；
（Ⅱ）a₁與a₅的等差中項(xiàng)為18得a3=

a1+a5

2

，求出a₃，代入通項(xiàng)公式求出p的值，得到a_n，把a(bǔ)_n代入到a_n=2log₂b_n，得到b_n的通項(xiàng)公式，發(fā)現(xiàn){b_n}是首項(xiàng)為2，公比為16的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=p-2+q
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p（n-1）²+2（n-1）-q=2pn-p-2
∵{a_n}是等差數(shù)列，a₁符合n≥2時(shí)，a_n的形式，
∴p-2+q=2p-p-2，
∴q=0
（Ⅱ）∵a3=

a1+a5

2

，由題意得a₃=18
又a₃=6p-p-2，∴6p-p-2=18，解得p=4
∴a_n=8n-6
由a_n=2log₂b_n，得b_n=2^4n-3．
∴b1=2，

bn+1

bn

=

24(n+1)-3

24n-3

=24=16，即{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為16的等比數(shù)列
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=

2(1-16n)

1-16

=

2

15

(16n-1)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用等差數(shù)列的前n+1項(xiàng)的和與前n項(xiàng)的和相減得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及會(huì)求等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和．