Question

【題目】已知函數(shù)，且

（1）求的解析式；

（2）若存在，使得成立，求的取值范圍；

（3）證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】分析：（1）直接根據(jù)求出a的值即得的解析式.(2)分離參數(shù)得到恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)求的最大值得解.(3)轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為最小值大于零.

詳解：（1）易知，所以，又

∴.

∴.

（2）若對(duì)任意的，都有，

即恒成立，即： 恒成立.

令，則，

當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞減；

∴時(shí)， 有最大值，

∴，即的取值范圍為.

（3）要證明函數(shù)的圖象在圖象的下方，

即證： 恒成立，

即： .

由（2）可得： ，所以，

要證明，只要證明，即證：

令中，則，

當(dāng)時(shí)， ，所以單調(diào)遞增，

∴

即，

所以，從而得到，

所以函數(shù)的圖象在圖象的下方.