Question

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，則x²y的最大值為

2

27

．

Answer 1

分析：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y，結(jié)合x＞0，y＞0可得

y＞0 1-2y＞0

，而x²y=（1-2y）²y=

1

4

(1-2y)(1-2y)(4y)，利用基本不等式可求函數(shù)的最大值
法二：由x+2y=1，可得x=1-2y，解x＞0，y＞0可得

y＞0 1-2y＞0

，而x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y，構(gòu)造函數(shù)f（y）=4y³-4y²+y（0＜y＜

1

2

），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值

解答：解：法一：由x+2y=1，可得x=1-2y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0 1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

∴x²y=（1-2y）²y=

1

4

(1-2y)(1-2y)(4y)≤

1

4

•(

1-2y+1-2y+4y

3

)3
=

1

4

×

8

27

=

2

27

當(dāng)且僅當(dāng)1-2y=4y即y=

1

6

，x=

2

3

時(shí)取等號(hào)
則x²y的最大值為

2

27

故答案為

2

27

法二：由x+2y=1，可得x=1-2y
∴x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0 1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

令f（y）=4y³-4y²+y（0＜y＜

1

2

），則f′（y）=12y²-8y+1
∵0＜y＜

1

2

令f′（y）＜0恒可得

1

6

＜y＜

1

2

令f′（y）≥0可得0＜y≤

1

6

∴函數(shù)f（y）=4y³-4y²+y在（

1

6

，

1

2

）單調(diào)遞減，在（0，

1

6

]上單調(diào)遞增
∴當(dāng)y=

1

6

時(shí)取得最大值

2

27

故答案為

2

27

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的最大值的求解，法一中主要利用了基本不等式abc≤(

a+b+c

3

)3，法二是解答一般函數(shù)求解最值的常用方法