Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線(xiàn)l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.在橢圓中，可求，再根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為求得.

（Ⅱ）聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓方程得的一元二次方程，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），所以,故,可得的關(guān)系式，再由點(diǎn)斜式的直線(xiàn)方程寫(xiě)出直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，注意檢驗(yàn).

試題解析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

由已知得：

（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立

得，則

又，

因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），

當(dāng)，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；

當(dāng)

所以，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系；3、韋達(dá)定理；4、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程；5、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.