Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）需要把函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到函數(shù)g（x）=cosx的圖象？
（3）在△ABC中，A、B、C分別為三邊a、b、c所對的角，若a=

3

，f（A）=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）的解析式第一、三項(xiàng)結(jié)合，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，合并后提取2，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區(qū)間；
（2）把f（x）解析式變形后，先向右平移

π

12

單位，然后橫縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?倍，最后將函數(shù)圖象向左平移

π

2

個單位，即可得到g（x）=cosx；
（3）由f（A）=1及確定出的f（x）的解析式，變形后利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，可得出cosA的值，再由a的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將a與cosA的值代入，利用完全平方公式變形后，再利用基本不等式即可求出b+c的最大值．

解答：解：f（x）=cos²x+2

3

sinxcosx-sin²x
=（cos²x-sin²x）+

3

（2sinxcosx）
=cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的最小正周期為π，單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）=2sin2（x+

π

12

），
先將f（x）向右平移

π

12

單位，得到y(tǒng)=2sin2x，然后橫縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=sinx，
最后將函數(shù)圖象向左平移

π

2

個單位，可得g（x）=cosx；
（3）∵f（A）=1，∴2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，∴A=

π

3

，又a=

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²-3=3bc≤3•(

b+c

2

)2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，
∴

(b+c)2

4

≤3，即（b+c）²≤12，
∴0＜b+c≤2

3

，
則b+c的最大值為2

3

．

點(diǎn)評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．