Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）分類討論參數(shù)的值，利用導數(shù)得出該函數(shù)的單調性，進而得出極值；

（2）當時，至多有一個零點，不符合題意；當時，函數(shù)的極大值為，令，求導確定的單調性，討論的值，確定的正負，再結合零點存在性定理，即可得出的取值范圍.

解：（1）的定義域是，

若，則，此時在遞減，無極值；

若，則由，解得

當，；當時，

此時在遞增，在遞減，

當時，函數(shù)的極大值為，無極小值.

（2）由（1）可知，當時，在遞減，則至多有一個零點，不符合題意，舍去；

當時，函數(shù)的極大值為

令

，在單調遞增

又，時，，時，

①當，，則函數(shù)至多有一個零點，不符合題意，舍去；

②當時，

函數(shù)在內(nèi)有一個零點

設

在內(nèi)單調遞減，則

函數(shù)在內(nèi)有一個零點，則當時，函數(shù)恰有兩個零點，綜上，函數(shù)有兩個不同的零點時，.