Question

設函數(shù)f（x）=（

3

cos

x

2

+sin

x

2

）•cos

x

2

-

3

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

且a=

3

2

b，求角B的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=sin（x+

π

3

），從而求得函數(shù)的周期．
（2）△ABC中，由f（A）=

3

2

 求得A=

π

3

．由a=

3

2

b，利用正弦定理求得sinB的值，可得角B．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（

3

cos

x

2

+sin

x

2

）•cos

x

2

-

3

2

=

3

cos

x

2

•cos

x

2

+sin

x

2

•cos

x

2

-

3

2

=

3

•

1+cosx

2

+

1

2

sinx-

3

2

=sin（x+

π

3

），
故函數(shù)的最小正周期為

2π

1

=2π．
（2）△ABC中，∵f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，∴A=

π

3

．
又a=

3

2

b，∴sinA=

3

2

sinB，∴sinB=1，∴角B=

π

2

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．