Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=-9，bn+1=bn+

k

2 an+1 2

，（n∈N⁺）其中k為大于0的常數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列a_n+b_n的前n項(xiàng)和為T_n，若當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)，T_n取得最小值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的等差數(shù)列的三項(xiàng)之間的關(guān)系，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差的關(guān)系，求出首項(xiàng)和公差，寫出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)所給的數(shù)列的遞推式，代入前面求出的數(shù)列的通項(xiàng)，整理仿寫一個(gè)通項(xiàng)，連續(xù)兩項(xiàng)做差，再利用累加得到要求的數(shù)列的通項(xiàng)．
（2）根據(jù)所求的兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)．構(gòu)造新數(shù)列，連續(xù)兩項(xiàng)做差，得到數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，當(dāng)n=3時(shí)，取得最小值，根據(jù)條件做出k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S₅=5a₁+10d
∵S₅=3a₅-2=3（a₁+4d）-2=3a₁+12d-2
∴5a₁+10d=3a₁+12d-2
∴a₁=d-1
∵a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列
∴a₂²=a₁a₅即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d）
化簡(jiǎn)得：d=2a₁
∴a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∴bn+1=bn+

k

2 an+1 2

=bn+

k

2n

∴bn+1-bn=

k

2n

當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1=

k

2n-1

bn-1-bn-2=

k

2n-2

b2-b1=

k

2

∴bn-b1=

k

2n-1

+

k

2n-2

+

k

2

=k×(

2n-1-1

2-1

×

1

2n-1

)=k×

2n-1-1

2n-1

=k-

2k

2n-1

∴bn=-9+k-

2k

2n-1

當(dāng)n=1時(shí)，b₁=9滿足上式
∴bn=-9+k-

2k

2n-1

(n∈N*)
（2）∵a_n=2n-1，bn=-9+k-

k

2n-1

(n∈N*)
∴(an+1+bn+1)-(an+bn)=2+

k

2n

＞0
∴數(shù)列a_n+b_n是遞增數(shù)列
∵當(dāng)n=3時(shí)，T_n取得最小值
∴a3+b3=5+(k-9-

k

4

)=

3k

4

-4＜0a4+b4=7+(k-9-

k

8

)=

7k

8

-2＞0
解得

16

7

＜k＜

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，本題解題的關(guān)鍵是應(yīng)用函數(shù)的思想來解決數(shù)列的問題，本題是一個(gè)綜合題目．