Question

【題目】

如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)．下列判斷中：

①直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)；

②；

③、、、四點(diǎn)共面，且該平面把四面體的體積分為相等的兩部分．

所有正確的序號(hào)為

__________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

通過(guò)平面的基本性質(zhì)與推論很容易證明三線共點(diǎn)，①正確；兩個(gè)三角形的面積，一個(gè)為定值，另一個(gè)不是定值，②不正確；通過(guò)K點(diǎn)的特殊位置和運(yùn)動(dòng)，空間想象體積的變化，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评�，得出結(jié)論③正確.

①項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，且平面，

平面

同理可得， 平面；

又因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，

所以，，三條直線相交于同一點(diǎn).故①正確.

②項(xiàng)，為定值，為上的動(dòng)點(diǎn)，又因?yàn)?/span>與為異面直線，

所以到的距離是變化的，所以是變化的，故②不正確.

③ 項(xiàng)，當(dāng)K與D重合時(shí)，H與D重合，G與C重合，如圖（1）所示

此時(shí)平面EGFH即為平面ECD，

因?yàn)?/span>E為AB 中點(diǎn)，所以平面ECD把四面體分成體積相等的兩部分.

圖（1）

當(dāng)K遠(yuǎn)離D時(shí)，平面EGFH使兩部分體積發(fā)生了變化，

一部分在三棱錐A-ECD的基礎(chǔ)上，

多出了一個(gè)三棱錐E-GCF的體積，如圖2

少了一個(gè)三棱錐E-FDH的體積，如圖3所示，

過(guò)點(diǎn)D做，分別交EK，GK于點(diǎn)M，N，

連接MN，如圖4所示

，

， ，

，

，

所以無(wú)論、、、如何變化，平面把四面體的體積分為相等的兩部分，③正確.

故答案為：①③