Question

已知圓O：x²+y²=4，圓O與x軸交于A，B兩點，過點B的圓的切線為l，P是圓上異于A，B的一點，PH垂直于x軸，垂足為H，E是PH的中點，延長AP，AE分別交l于F，C．
（1）若點P（1，），求以FB為直徑的圓的方程，并判斷P是否在圓上；
（2）當P在圓上運動時，證明：直線PC恒與圓O相切．

Answer 1

（1）證明：由P（1，），A（-2，0）
∴直線AP的方程為．
令x=2，得F（2，）．（2分）
由E（1，），A（-2，0），則直線AE的方程為y=（x+2），
令x=2，得C（2，）．（4分）
∴C為線段FB的中點，以FB為直徑的圓恰以C為圓心，半徑等于．
∴圓的方程為，且P在圓上；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），則E（x₀，），則直線AE的方程為
在此方程中令x=2，得C（2，）
直線PC的斜率為=-=-
若x₀=0，則此時PC與y軸垂直，即PC⊥OP； （13分）
若x₀≠0，則此時直線OP的斜率為，
∵×（-）=-1
∴PC⊥OP
∴直線PC與圓O相切．（16分）
分析：（1）先確定直線AP的方程為，求得F（2，），確定直線AE的方程為y=（x+2），求得C（2，），由此可得圓的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則E（x₀，），求得直線AE的方程，進而可確定直線PC的斜率，由此即可證得直線PC與圓O相切．
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑，利用斜率關(guān)系確定直線與圓相切．