Question

【題目】已知圓O：x2+y2=1過橢圓C： （a＞b＞0）的短軸端點(diǎn)，P，Q分別是圓O與橢圓C上任意兩點(diǎn)，且線段PQ長度的最大值為3． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（0，t）作圓O的一條切線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求△OMN的面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓O過橢圓C的短軸端點(diǎn)，∴b=1， 又∵線段PQ長度的最大值為3，
∴a+1=3，即a=2，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（Ⅱ）由題意可設(shè)切線MN的方程為y=kx+t，即kx﹣y+t=0，則 ，得k2=t2﹣1．①
聯(lián)立得方程組 ，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．
其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0，
設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則 ， ，
則 ．②
將①代入②得 ，∴ ，
而 ，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ．
綜上可知：（S△OMN）max=1
【解析】（Ⅰ）由圓O過橢圓C的短軸端點(diǎn)b=1，線段PQ長度的最大值為3，a+1=3，a=2，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，求得k2=t2﹣1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求得丨MN丨，利用三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△OMN的面積的最大值．