Question

如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過(guò)P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)A（-c，2）在橢圓上，結(jié)合橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)出圓Q的圓心坐標(biāo)及半徑，由PQ⊥P'Q得到P的坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的方程后和橢圓聯(lián)立，化為關(guān)于x的二次方程后由判別式等于0得到關(guān)于t與r的方程，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得到關(guān)于t與r的另一方程，聯(lián)立可求出t與r的值，經(jīng)驗(yàn)證滿足橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外，結(jié)合對(duì)稱性即可求得圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意知點(diǎn)A（-c，2）在橢圓上，則，即①
∵離心率，∴②
聯(lián)立①②得：，所以b²=8．
把b²=8代入②得，a²=16．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0），圓Q的半徑為r，則圓Q的方程為（x-t）²+y²=r²，
不妨取P為第一象限的點(diǎn)，因?yàn)镻Q⊥P'Q，則P（）（t＞0）．
聯(lián)立，得x²-4tx+2t²+16-2r²=0．
由△=（-4t）²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8
又P（）在橢圓上，所以．
整理得，．
代入t²+r²=8，得．
解得：．所以，．
此時(shí)．
滿足橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．
由對(duì)稱性可知，當(dāng)t＜0時(shí)，t=-，．
故所求橢圓方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查方程組的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．