Question

如圖所示，f（x）是定義在區(qū)間[-c，c]（c＞0）上的奇函數(shù)，令g（x）=af（x）+b，并有關(guān)于函數(shù)g（x）的四個論斷：
①若a＞0，對于[-1，1]內(nèi)的任意實數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②函數(shù)g（x）是奇函數(shù)的充要條件是b=0；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數(shù)根；
④?a∈R，g（x）的導函數(shù)g′（x）有兩個零點；
其中所有正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

分析：①對于[-c，c]內(nèi)的任意實數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來進行判斷；
②若b=0，則函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，由函數(shù)解析式的形式判斷即可；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數(shù)根，由函數(shù)的圖象及參數(shù)的取值范圍進行判斷；
④?a∈R，則由g（x）的極值點的個數(shù)，判斷導函數(shù)g'（x）有多少個零點．

解答：解：①對于[-c，c]內(nèi)的任意實數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，由函數(shù)的圖象可以看出，函數(shù)在[-1，1]內(nèi)不是單調(diào)增函數(shù)，故命題不正確；
②若b=0，則函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，此命題正確，b=0時，g（x）=af（x）是一個奇函數(shù)；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數(shù)根，本題中沒有具體限定b的范圍，故無法判斷g（x）=0有幾個根；
④a=0時，g（x）=b，g′（x）=0，結(jié)論不成立．
綜上②正確
故答案為②．

點評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，求解本題的關(guān)鍵是對函數(shù)的圖象變換的方式與系數(shù)的關(guān)系以及與所加的常數(shù)的關(guān)系的理解與運用．一般一個一個奇函數(shù)乘上一個數(shù)仍是奇函數(shù)，一個增函數(shù)乘上一個正數(shù)仍是增函數(shù)，一個函數(shù)加上一個常數(shù)，不改變其單調(diào)性，由這些結(jié)論即可保證正確做對本題．