Question

已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且y=f（x+1）是奇函數(shù)，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A．f（1-x）+f（x+1）=0
• B．f′（x）（x-1）≥0
• C．f（x）（x-1）≥0
• D．

  lim

  x→0

  f（x）=f（0）

Answer 1

分析：由奇函數(shù)的圖象的性質(zhì)及圖象變換的規(guī)律判斷出A對(duì)；據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系判斷出B錯(cuò)；根據(jù)圖象知當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，x-1＞0，得到f（x）（x-1）≥0；當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）≤0，x-1≤0，得到f（x）（x-1）≥0；判斷出C對(duì)
由函數(shù)的圖象知，f（x）是連續(xù)的，判斷出D對(duì)；

解答：解：因?yàn)閥=f（x+1）是奇函數(shù)，
所以y=f（x+1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)閒（x）的圖象是由y=f（x+1）的圖象向右平移1個(gè)單位，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，A正確；
∵f′（x）是函f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
由函數(shù)的圖象知，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)先增后減，
∴f′（x）不恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正確，所以B不對(duì)；
由圖象知，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，x-1＞0，所以f（x）（x-1）≥0；
當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）≤0，x-1≤0，所以f（x）（x-1）≥0；所以C對(duì)
由函數(shù)的圖象知，f（x）是連續(xù)的，
所以

lim

x→0

f(x)=f(0)，所以D對(duì)；
由函數(shù)的圖象知，故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的變換規(guī)律、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．