Question

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿對角線BD將△BDC折起得到三棱錐E-ABD，且三棱錐的體積為

5

15

，則二面角E-BD-A的正弦值為

1

2

．

Answer 1

分析：利用三棱錐的體積求出E到平面ABD的距離，過E作EF⊥BD，連接OF，則∠EFO為二面角E-BD-A的平面角，從而可求二面角E-BD-A的正弦值．

解答：解：設E到平面ABD的距離為EO=h，則由題意，
∵三棱錐的體積為

5

15

，∴

5

15

=

1

3

×

1

2

×2×1×h
∴h=

5

5

，
過E作EF⊥BD，連接OF，則OF⊥BD，∴∠EFO為二面角E-BD-A的平面角
在Rt△EBD中，EF=

EB×ED

BD

=

2

5

∴sin∠EFO=

EO

EF

=

5 5

2 5

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題考查面面角，考查三棱錐體積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．