Question

已知橢圓

x2

3

+

y2

2

=1，斜率為k（k≠0）且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C，直線(xiàn)OC交橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)為點(diǎn)D（x₀，y₀），則x02+y02+k2的最小值為（　�。�

Answer 1

分析：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b，（b≠0），代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出D點(diǎn)的坐標(biāo)（x₀，y₀），表示出則x02+y02+k2，利用基本不等式求最小值．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b，（b≠0），
則

y=kx+b 2x2+3y2=6

⇒（2+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x_C=

x1+x2

2

=-

3bk

2+3k2

，y_C=

2b

2+3k2

，
∵橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-3，∴x₀=-3，
∴

y0

-3

=

yC

xC

⇒y₀=

6

3k

，
∴x02+y02+k²=9+

4

k2

+k²≥9+4=13，
當(dāng)k=±2時(shí) 取“=”，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了基本不等式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，有一定的運(yùn)算量，計(jì)算要細(xì)心．