Question

某學(xué)校需要一批一個銳角為θ的直角三角形硬紙板作為教學(xué)用具（

5π

24

≤θ≤

π

3

），現(xiàn)準(zhǔn)備定制長與寬分別為a、b（a＞b）的硬紙板截成三個符合要求的△AED、△BAE、△EBC．（如圖所示）
（1）當(dāng)θ=

π

6

時，求定制的硬紙板的長與寬的比值；
（2）現(xiàn)有三種規(guī)格的硬紙板可供選擇，A規(guī)格長80cm，寬30cm，B規(guī)格長60cm，寬40cm，C規(guī)格長72cm，寬32cm，可以選擇哪種規(guī)格的硬紙板使用．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)準(zhǔn)備定制長與寬分別為a、b（a＞b）的硬紙板截成三個符合要求的△AED、△BAE、△EBC，可得∠AED=∠CBE=θ從而可求θ=

π

6

時，定制的硬紙板的長與寬的比值；
（2）求出定制的硬紙板的長與寬的比值，根據(jù)角的范圍，確定比值的范圍，從而可判斷哪種規(guī)格的硬紙板符合條件．

解答：解：（1）由題意∠AED=∠CBE=θ

∵b=BE•cos30°=AB•sin30°•cos30°=

3

4

a
∴

a

b

=

4 3

3

          …4′
（2）∵b=BE•cosθ=AB•sinθ•cosθ=

1

2

AB•sin2θ，∴

b

a

=

1

2

sin2θ
∵

5π

24

≤θ≤

π

3

，∴

5π

12

≤2θ≤

2π

3

，∴

b

a

∈[

3

4

，

1

2

]…10′
A規(guī)格：

30

80

=

3

8

＜

3

4

，不符合條件．…11′
B規(guī)格：

40

60

=

2

3

＞

1

2

，不符合條件．…12′
C規(guī)格：

32

72

=

4

9

∈[

3

4

，

1

2

]，符合條件．…13′
∴選擇買進(jìn)C規(guī)格的硬紙板．…14′

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，解題的關(guān)鍵是確定相似形，確定定制的硬紙板的長與寬的比值．